Matematika

Apa yang terlintas di pikiran kita ketika mendengar kata "Matematika?"
Apakah hanya angka-angka dan rumus-rumus yang rumit?
Ternyata dalam matematika banyak keunikan terutama dengan angka-angkanya. Coba kita lihat:

1

Bilangan akan menjadi bilangan itu sendiri apabila dibagi 1

2

Bilangan akan habis di bagi 2 bila angka terakhirnya genap. Misalnya, 512 angka terakhirnya adalah 2 yang merupakan bilangan genap, maka 512 habis di bagi 2.

3

Bilangan akan habis di bagi 3 bila jumlah angka-angkanya sama dengan hasil kelipatan 3. Misalnya, 531 habis di bagi 3 sebab 5+3+1=9=3×3.

4

Bilangan akan habis di bagi 4 bila dua angka terakhirnya adalah kelipatan 4. Misalnya, 1932 habis di bagi 4 karena 32=4×8.

5

Bilangan akan habis di bagi 5 bila angka terakhirnya 5 atau 0.

6

Bilangan habis di bagi 6 bila bilangan tersebut habis di bagi 2 atau 3.

7

Untuk mengetahui bilangan habis di bagi 7, pisahkan angka-angka ke dalam kelompok mulai dari kanan. Setiap kelompok terdiri dari 3 angka. Mulailah dari kanan dengan +. Tulislah + dan – bergantian di depan tiap-tiap kelompok. Jumlahkan. Bila hasilnya kelipatan 7, maka bilangan tersebut dapat di bagi 7.  Misalnya, 14294863492 habis dibagi tujuh karena -14+294-863+492= -91 = 7 x (-13).

8

Lihat angka 8, tidak ada ujungnya namun berliku, seperti kehidupan kita.

Bilangan akan habis di bagi 8 bila 3 angka terakhirnya merupakan kelipatan 8. Misalnya, 787296 habis di bagi 8 karena 296 = 8×37.

9

Bilangan akan habis di bagi 9 bila jumlah angka-angkanya merupakan kelipatan 9. Misalnya, 61101882 habis di bagi 9 karena 6+1+1+0+1+8+8+2 = 27 = 9×3.

10

Bilangan habis di bagi 10 bila anka terakhirnya 10 angka terakhirnya 0.

11

Untuk mengetahui bilangan habis di bagi 11, mulailah dari kiri dan jumlahkan angka pertama, ketiga, kelima dan seterusnya. Kemudian jumlahkan angka kedua,  keempat, keenam dan seterusnya. Kurangi jumlah bilangan pertama dengan jumlah bilangan kedua. Bila hasilnya 0 atau 11, berarti bilangan tersebut habis di bagi 11. Misalnya, 1254649 habis di bagi 11 sebab 1+5+6+9= 21, 2+4+4+10.an 21-10 + 11.

12

Bilangan habis di bagi 12 bila bilangan tersebut habis di bagi 3 dan 4.

13

Untuk mengetahui bilangan habis di bagi 13, kelompokkan angka seperti pada bilangan yang habis di bagi 7 dan jumlahkan. Bila hasilnya kelipatan 13, bilangan tersebut habis di bagi 13.

Dari angka-angka tersebut, ada juga keunikan angka 6 dan 9. Coba kita lihat:

Keunikan-keunikan angka 6 :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 2 + 3 + .......+ 66 = 2211
1 + 2 + 3 + .......+ 666 = 222111
1 + 2 + 3 + .......+ 6666 = 22221111
1 + 2 + 3 + .......+ 66666 = 2222211111
1 + 2 + 3 + .......+ 666666 = 222222111111

Sekarang coba ilustrasikan jawaban untuk soal berikut ini.

1 + 2 + 3 + ...+ n = 222...222111...111 (banyak angka 2 dan 1 masing-masing 2009 digit)
Tentukan nilai n!

Secara matematika, ada beberapa hal unik dari angka 666 :

- Merupakan angka palindrom (simetris): 666

- Merupakan penjumlahan dari 62=36 angka pertama yakni 1+2+3+4..….+35+36 =66

- Total bilangan prima hingga 666 berjumlah 121 bilangan yang merupakan kuadrat dari 11.

- 6=(32) − (22) + 1

- 66=(34) − (24) + 1

- 666=(36) − (26) + 1

- Total dari jumlah 7 bilangan kuadrat prima pertama yakni : 22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666

- Dalam angka Romawi, 666 direpresentasikan sebagai DCLXVI (D = 500, C = 100, L = 50, X = 10, V = 5, I = 1).

  DIC LVX merupaan representasi dari dicit lux.

  Dicit lux kemudian dikenal sebagai suara cahaya yang diidentikan dengan angka setan.

Keunikan-keunikan angka 9:

Cobalah cari hasil dari 63 x 99.

Bagaimanakah cara kita menyelesaikannya?

Salah satu cara untuk menghitung 63 x 99 adalah dengan perkalian bersusun. Tetapi, ada cara lain untuk menghitung hasil kali kedua bilangan tersebut, yaitu sebagai berikut :

Karena 99 = 100 - 1,
Maka 63 x 99

= 63 ( 100 - 1 )
= 63. 100 - 63. 1
= 6300 - 63
= 6237

Untuk mengalikan 999 x 27 dapat diselesaikan seperti berikut:
Karena 999 = 1000 - 1
Maka 999 x 27

= (1000 - 1) x 27
= 2700 - 27
= 26.973

Selanjutnya bagaimanakah dengan hasil dari misalnya 52 x 999? Cobalah kerjakan dengan teknik seperti tadi.
Apabila keterangan, contoh dan soal di atas telah dipahami, selanjutnya kita akan mengeksploitasi keunikan angka 9 lainnya.

Pada pembagian bilangan bulat oleh angka 9, ada hal-hal yang sangat unik. Mari kita perhatikan contohnya.

Contoh 1 :
Jika 12 dibagi oleh 9, maka hasilnya adalah 1 dan sisanya 3.
Jika angka-angka pada 12, yaitu 1 dan 2 dijumlahkan maka hasilnya 1 + 2 = 3 (sisa pembagian oleh 9).

Contoh 2 :
Jika 78 dibagi oleh 9, maka hasilnya adalah 8 dan sisanya adalah 6.
Jika angka-angka pada 78, yaitu 7 dan 8 dijumlahkan maka hasilnya 7 + 8 = 15. Selanjutnya jika angka-angka pada 15, yaitu 1 dan 5 dijumlahkan maka hasilnya 1 + 5 = 6 (sisa pembagian oleh 9).

Contoh 3 :
Jika 878 dibagi oleh 9, maka hasilnya adalah 97 dan sisanya adalah 5.
Jika angka-angka pada 878, yaitu 8, 7 dan 8 dijumlahkan maka hasilnya 8 + 7 + 8 = 23. Selanjutnya jika angka-angka pada 23, yaitu 2 dan 3 dijumlahkan maka hasilnya 2 + 3 = 5 (sisa pembagian oleh 9).

Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan “Setiap bilangan bulat yang dibagi oleh 9, maka sisanya adalah jumlah berulang dari angka-angka yang terdapat pada bilangan yang dibagi itu sampai memperoleh sebuah bilangan 0 sampai 8“.

Sifat lain yang mempesona dari angka 9 dapat dilihat dari hasil kali bilangan 12345679 dengan 9 buah bilangan asli kelipatan 9 yang pertama sebagai berikut :

12345679 x 9 = 111.111.111
12345679 x 18 = 222.222.222
12345679 x 27 = 333.333.333
12345679 x 36 = 444.444.444
12345679 x 45 = 555.555.555
12345679 x 54 = 666.666.666
12345679 x 63 = 777.777.777
12345679 x 72 = 888.888.888
12345679 x 81 = 999.999.999

Sekarang daftar hasil kali bilangan 987654321 dengan sembilan bilangan asli kelipatan 9 yang pertama tampak seperti berikut :

987654321 x 9 = 8.888.888.889
987654321 x 18 = 17.777.777.778
987654321 x 27 = 26.666.666.667
987654321 x 36 = 35.555.555.556
987654321 x 45 = 44.444.444.445
987654321 x 54 = 53.333.333.334
987654321 x 63 = 62.222.222.223
987654321 x 72 = 71.111.111.112
987654321 x 81 = 80.000.000.001

Berikut hasil keunikan dari angka 9.

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111

Ini juga :

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

0 x 9 + 0 = 0
1 x 9 + 1 = 10
12 x 9 + 2 = 110
123 x 9 + 3 = 1110
1234 x 9 + 4 = 11110
12345 x 9 + 5 = 111110
123456 x 9 + 6 = 1111110
1234567 x 9 + 7 = 11111110
12345678 x 9 + 8 = 111111110
123456789 x 9 + 9 = 1111111110

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 18 + 1 = 19
12 x 18 + 2 = 218
123 x 18 + 3 = 2217
1234 x 18 + 4 = 22216
12345 x 18 + 5 = 222215
123456 x 18 + 6 = 2222214
1234567 x 18 + 7 = 22222213
12345678 x 18 + 8 = 222222212
123456789 x 18 + 9 = 2222222211
123456789 + 987654321 = 1111111110

1 x 142857 = 142857 (angka sama)
2 x 142857 = 285714 (angka sama beda urutan )
3 x 142857 = 428571 (angka sama beda urutan)
4 x 142857 = 571428 (angka sama beda urutan )
5 x 142857 = 714285 (angka sama beda urutan)
6 x 142857 = 857142 (angka sama beda urutan)
7 x 142857 = 999999 (hasil yang fantastis!)

Bilangan sembarang jika dikalikan 9, kemudian angka-angka hasilnya dijumlahkan, maka hasilnya = 9. Mari kita buktikan.
1 x 9 = 9
2 x 9 = 18, jumlah 1 + 8 = 9
3 x 9 = 27, jumlah 2 + 7 = 9
4 x 9 = 36, jumlah 3 + 6 = 9
5 x 9 = 45, jumlah 4 + 5 = 9
6 x 9 = 54, jumlah 5 + 4 = 9
7 x 9 = 63, jumlah 6 + 3 = 9
8 x 9 = 72, jumlah 7 + 2 = 9
9 x 9 = 81, jumlah 8 + 1 = 9
10 x 9 = 90, jumlah 9 + 0 = 9

22 x 9 = 198, cara cepatnya 2 x 9 = 18, lalu selipkan angka 9 ditengah, jadi 198.
33 x 9 = 297
44 x 9 = 396
55 x 9 = 495
66 x 9 = 594
77 x 9 = 693
88 x 9 = 792
99 x 9 = 891

Jika angka kembar 3 digit, maka tinggal selipkan 99 ditengahnya. Kita buktikan ya!
222 x 9 = 1998, cara cepat 2 x 9 = 18, selipkan 99 ditengah
333 x 9 = 2997
444 x 9 = 3996
555 x 9 = 4995

Keren!

Apakah anggapan kalian terhadap Matematika akan berubah?

# dari berbagai sumber